РЯДЫ ВОЛЬТЕРРА, КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Сборник статей А.А. Аграчева, включающий также совместные работы с Р.В. Гамкрелидзе и С.А. Вахрамеевым

                                                 Аннотация.

 

Настоящий сборник содержит статьи разных лет, посвящённые трём связанным между собой темам:

aналитической и алгебраической теории рядов Вольтерра;

топологии и анализу квадратичных отображений;

связи кривизны и динамики.

Ряд Вольтерра -- это, по-существу, универсальное асимптотическое разложение любого эволюционного процесса, в котором настоящее зависит лишь от прошлого, но не от будущего.

 

Ряды Вольтерра можно описывать с помощью, так называемого, хронологического умножения, а главным квадратичным отображением, мотивирующим построение общей теории, оказывается хронологический квадрат, квадратичный член ряда Вольтерра.

 

Изучая этот квадратичный член на бесконечно малом интервале времени, мы приходим к понятию кривизны, которое включает риманову секционную кривизну, как очень частный случай.

 

Неудивительно, что эта кривизна имеет полезные приложения к динамике, ведь с динамики всё и началось.

 

Каждая из тем далеко не исчерпана и предполагает дальнейшее развитие, скорее всего, более важное, чем то, что уже сделано. Представленные статьи содержат по возможности полные доказательства приведённых в них результатов и могут служить базой для такого развития.

 

 

 

 

 

                                              Содержание

 

I. Ряды Вольтерра

 

1. Экспоненциальное представление потоков и хронологическое исчисление (c Р.В. Гамкрелидзе).

 

2. Хронологические ряды и теорема Коши–Ковалевской (с С.А. Вахрамеевым).

 

3. Хронологические алгебры и нестационарные векторные поля (с Р.В. Гамкрелидзе).

 

4. Ряды Вольтерра и группы подстановок (c Р.В. Гамкрелидзе).

 

 

II. Квадратичные формы

 

1. Топология квадратичных отображений и гессианы гладких отображений.

 

2. Квадратичные отображения в геометрической теории управления.

 

3. О пространствах симметричных операторов с кратными основными состояниями.

 

4. Квадратичные когомологии.

 

5. Спектр второй вариации.

 

 

III. Динамические системы

 

1. Кривизна и гиперболичность гамильтоновых систем.

 

2. Корректные вариационные задачи с бесконечным горизонтом.

 

3. Инвариантные лагранжевы подмногообразия диссипативных систем.