Sistemi dinamici
Il corso introduce la teoria dei sistemi dinamici, con particolare enfasi nello studio qualitativo del flusso di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Appelli d'esame
- Martedì 19 Giugno , ore 10, stanza 5A
- Martedì 17 Luglio, ore 10, stanza 5A
- Martedì 4 Settembre, ore 10, stanza 5A
- Martedì 25 Settembre, ore 10, stanza 5A
Orario
- Lunedì , 14:15 - 16, stanza 5C
- Mercoledì, 14:15 - 16, stanza 5C
Libri di testo consigliati
- Hirsh, Smale, Devaney - Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos [HSD]
- Hirsh, Smale - Differential Equations, Dynamical systems and linear algebra [HS]
- Arnold - Ordinary differential equations [Ar]
- Chicone - Ordinary differential equations with applications [Ch]
- Strogatz - Nonlinear dynamics and chaos [St]
- Amann - Ordinary Differential Equations: An Introduction to Nonlinear Analysis [Am]
- Coddington, Levinson - Theory of Ordinary Differential Equations [CL]
Dispense consigliate
- A. Giorgilli - Metodi e Modelli Matematici per le Applicazioni [Gio]
- D. Bambusi - Appunti di sistemi dinamici [Ba]
- G. Benettin - Una passeggiata tra i sistemi dinamici [Be]
Diario delle lezioni
- 5/03: Introduzione al corso. Equazioni differenziali autonome e non autonome. Metodo di separazione delle variabili. Studio della dinamica in alcuni modelli: decadimento radioattivo e Lotka-Volterra.
- 7/03: Richiami su teoremi classici di EDO: esistenza ed unicità, prolungabilità delle soluzioni, esistenza globale [Am, Cap. 2]
- 12/03: Flusso di equazioni differenziali, teorema di continuità e differenziabilità del flusso, equazione alle variazioni, proprietà di gruppo del flusso [HSD, cap. 17]
- 14/03: Wronskiano, Teorema di Liouville [Ar, cap 27-6]. Sistemi in una variabile spaziale, punti di equilibrio stabili ed instabili, punti iperbolici. Descrizione qualitativa della dinamica, equazione logistica ed equazione logistica con prelievo [St, cap. 2]
- 19/03: Biforcazioni per sistemi unidimensionali. Biforcazione tangente, transcritica e a forchetta. Cenni alla teoria delle catastrofi con il modello di invasione delle cavallette [St, cap. 3]
- 21/03: Sistemi conservativi ad un grado di libertà. Conservazione dell'energia, condizioni per l'esistenza globale delle soluzioni, orbite ed insiemi di livello. Punti stabili ed instabili, ritratti di fase, periodo delle oscillazioni [Ar, cap. 2-12] .
- 26/03: Sistemi lineari. Soluzione di equazioni lineari $\dot x = Ax$ con $A$ diagonalizzabile. Formula reale delle soluzioni. Analisi della dinamica [HS, cap. 3 e 4]
- 28/03: Analisi qualitativa delle soluzioni di sistemi lineari. Classificazione dei sistemi lineari nel piano [HSD, cap. 3]. Analisi dei sistemi in dimensione superiore, dinamica di oscillatori armonici disaccoppiati [HSD, cap. 6]
- 3/04: Dinamica delle rotazioni del cerchio. Esponenziali di matrice: definizione e prime proprietà. [HS, cap. 5]
- 9/04: Esponenziale di matrice non diagonalizzabile. [HS, cap. 6 ] Stime dinamiche del flusso lineare. Formula di Duhamel. Applicazione a oscillatore armonico con attrito e forzante [HS, cap. 7 ]
- 11/04: Stabilità nonlineare locale. Definizione di stabilità orbitale e stabilità asintotica. Esempi. Condizioni per la stabilità asintotica e l'instabilità di punti di equilibrio. [HS, cap. 9 ] (Per le dimostrazioni, guardare il Coddington-Levinson [CL, cap. 13 ]
- 16/04: Il teorema della varietà stabile ed instabile. Discussione generale, esempi e dimostrazione. [Note] (Attenzione, versione manoscritta e non ricontrollata! Guardare nel materiale didattico per ulteriori informazioni)
- 18/04: Il teorema della varietà stabile ed instabile, fine della dimostrazione. Simulazioni numeriche. Derivata di Lie e primo Teorema di Lyapunov. [HS, cap. 9 ]
- 2/05: Applicazioni del primo teorema di Lyapunov. Stabilità dei punti stazionari dei sistemi conservativi in $\mathbb R^n$ e sistemi Hamiltoniani. [HS, cap. 9 ]
- 7/05: Problema circolare dei tre corpi ristretto. Equazioni del moto e punti fissi. [Note] (Attenzione, versione manoscritta e non ricontrollata! Guardare nel materiale didattico per ulteriori informazioni)
- 9/05: Problema circolare dei tre corpi ristretto: stabilità dei punti fissi [Note]
- 14/05: Insiemi $\alpha$ e $\omega$-limite. Esempi e loro proprietà [Gio, cap. 4]. Teorema di LaSalle. LaSalle
- 16/05: Applicazioni a modelli. Dinamica del modello SIR, SIRS, Lotka-Volterra competitivo. [HSD, cap. 11]
- 21/05: Teorema di Poincare' - Bendixson: sezione locale, flow box, successioni monotone di punti, dimostrazione del teorema. [HSD, cap.10]
- 23/05: Applicazioni del Teorema di Poincare' - Bendixson: classificazione insiemi $\omega$-limite nel piano, proprietà orbite chiuse. Costruzione di orbite periodiche col metodo trapping: il modello di Selkov. [HSD, cap.10]
- 25/05: Applicazioni a modelli: costruzione dell'orbita periodica nel modello di Van der Pol [HSD, cap.12]
- 28/05: Equazione di Lorenz: analisi qualitativa, stabilità dei punti fissi [HSD, cap.14] Analisi numerica delle soluzioni jupyter notebook
- 4/06: Sistemi dinamici discreti: definizione, punti fissi, stabilità lineare e cenni a quella nonlineare. Dinamica della mappa tenda. Definizione di dinamica caotica. [HSD, cap.15]
- 6/06: Mappa del raddoppio dell'angolo, dinamica simbolica. [HSD, cap.15] Chaos nella mappa del panettiere [Be]
Materiale didattico aggiuntivo
- Invasione delle locuste: jupyter notebook, pdf oppure github
- Dinamica deri sistemi lineari in dimensione 3: [Ar]
- dfield e pplane: per la visualizzazione grafica di ODE nel piano java program matlab code
- Teorema di punto fisso in spazi di Banach con parametri link
- Una dimostrazione del teorema della varietà stabile ed instabile in dimensione qualsiasi link
- Varietà stabile ed instabile del pendolo con attrito: jupyter notebook, pdf
- Problema circolare dei tre corpi ristretto: note di A. Giorgilli
- Celletti: Low cost travels within the Solar systems pdf
- Funzioni di Lyapunov e stabilità globale per modelli SIR e SIRS generalizzati pdf