Confronto con la densità di probabilità classica

Le densità di probabilità delle funzioni d'onda $\psi_n(x)$ dell'oscillatore armonico hanno, in generale, $n+1$ picchi, la cui altezza aumenta mentre ci si avvicina ai corrispondenti punti di inversione classici.

Queste densità di probabilità possono essere confrontate con quella dell'oscillatore armonico classico, in cui la massa si muove secondo $x(t)=x_0 \sin(\omega_c t)$. La probabilità $\rho(x) dx$ di trovare la massa fra $x$ e $x+dx$ è proporzionale al tempo impiegato per attraversare quella regione, ossia inversamente proporzionale alla velocità, espressa in funzione di $x$:

$$\rho(x) dx \propto \frac{dx}{v(x)}$$ (2.29)

Poichè $v(t)= x_0 \omega_c \cos(\omega_c t) = \omega_c \sqrt{x_0^2 - x_0^2\sin^2(\omega_c t)}$, sarà

$$\rho(x) \propto \frac{1}{\sqrt{x_0^2 -x^2}}$$ (2.30)

Questa densità di probabilità ha un minimo a $x=0$, e diverge ai punti di inversione. È ovviamente nulla oltre il punto di inversione.

La densità di probabilità quantistica nello stato fondamentale è completamente diversa: presenta un massimo a $x=0$, e decresce aumentando $x$. Al punto di inversione classico il suo valore è circa il 60% del valore massimo. La particella ha una elevata probabilità di trovarsi nella regione classicamente proibita.

Nel limite di grandi numeri quantici, la densità quantistica tende tuttavia ad assomigliare a quella classica, ma esibisce il comportamento oscillatorio nella regione permessa tipico dei sistemi quantistici.