Simmetria e parità

Tutte le autofunzioni dell'oscillatore armonico con $n$ pari sono funzioni pari, e quelle con $n$ dispari sono funzioni dispari. È facile dimostrare che in casi come questo in cui il potenziale è simmetrico, ossia $V(-x)=V(x)$, una soluzione dell'equazione di Schrödinger è necessariamente pari o dispari per motivi di simmetria.

Si immagini infatti di invertire l'asse $x$: $x\rightarrow -x$. Nessuna osservabile fisica può cambiare per effetto di questa trasformazione, perchè il potenziale non varia. Poichè la densità di probabilità è un'osservabile, dovrà quindi essere

$$\vert\psi_n(-x)\vert^2 = \vert\psi_n(x)\vert$$ (2.26)

Ciò è possibile solo se le due funzioni differiscono per un fattore di fase complesso:

$$\psi_n(-x) = {\rm e}^{i\alpha} \psi_n(x)$$ (2.27)

con $\alpha$ reale.

Effettuando due volte questa operazione di inversione dell'asse si ritorna però alla situazione di partenza. Quindi, applicando due volte in sequenza l'equazione qui sopra, si scopre che deve essere

$${\rm e}^{2i\alpha} = 1$$ (2.28)

ossia $\alpha=m\pi$ con $m$ intero. La $\psi_n$ è dunque pari se $m$ è pari, e dispari se $m$ è dispari. Si può quindi a priori dire che, a causa della simmetria del potenziale, i polinomi di Hermite di grado pari devono avere tutti i coefficienti dispari nulli, e viceversa.