Moto di un punto materiale

Vogliamo ottenere la legge del moto di un punto materiale di massa $m$ in una dimensione, soggetto ad un potenziale $V(x)$.

L'equazione differenziale che governa il moto del punto (ossia fornisce $x(t)$) date la posizione e la velocità iniziali, è la seconda legge di Newton

$$-\frac{dV}{dx} = m \frac{d^2 x}{dt^2}$$ (1.1)

La soluzione di questa equazione è facile da ottenere analiticamente per speciali forme di $V(x)$, come ad esempio nel caso dell'oscillatore armonico; ma in generale ottenere una soluzione analitica potrebbe risultare assai laborioso, o impossibile. Ad esempio, $V(x)$ stesso potrebbe non essere dato in forma analitica, ma solo in forma di una tabella numerica.

Ma, soprattutto, una volta che siamo in grado di sviluppare un metodo numerico, potremo estenderlo senza troppa difficoltà a casi più complessi e di interesse pratico molto maggiore, come ad esempio un sistema di molti punti materiali interagenti in tre dimensioni attraverso interazioni di coppia, o interazioni più complicate.