L'algoritmo di Størmer-Verlet

La strategia generale per integrare la (1.1) è quella di suddividere l'intervallo temporale di interesse $[0,T]$ in $N$ intervallini di ampiezza $\Delta t$, sufficientemente piccoli da non commettere grossi errori approssimando la soluzione $x(t)$ con il suo sviluppo in serie di Taylor fino ad un ordine relativamente basso, e integrare una equazione alle differenze finite per ottenere $x_n = x(t_n)$, dove $t_n = n\Delta t$, $n=0\ldots N$.

Espandendo in serie di Taylor attorno a $x_n$ in entrambe le direzioni:

$$\begin{array}{l} x_{n-1} = x_n - \dot{x}_n \Delta t + (1/2) ... .../6) \dot{\ddot{x}}_n (\Delta t)^3 + O[(\Delta t)^4] \end{array}$$ (1.2)

e sommandole fra loro si ottiene

$$x_{n+1} = 2x_n - x_{n-1} + \ddot{x}_n (\Delta t)^2 + O[(\Delta t)^4]$$ (1.3)

Ora utilizziamo la legge di Newton (1.1), o

$$\ddot{x}_n = - \frac{1}{m} \left.\frac{dV}{dx}\right\vert _{x=x_n} \equiv f_n$$ (1.4)

ottenendo

$$x_{n+1} = 2x_n - x_{n-1} + f_n (\Delta t)^2 + O[(\Delta t)^4] .$$ (1.5)

Questa equazione ci permette, nota la posizione ai tempi $n-1$ e $n$ e la forza al tempo $n$, di ottenere una stima della posizione al tempo $n+1$, e quindi fornisce un algoritmo (detto algoritmo di Størmer-Verlet) per ottenere iterativamente la traiettoria $x(t)$ del punto sotto forma di una tabella numerica.