Equazione di Schrödinger in un campo centrale

Consideriamo un sistema quantistico costituito da due particelle di masse $m_1$ e $m_2$ interagenti tra loro, e in assenza di campi esterni. Supponiamo per il momento che il potenziale di interazione $V(r)$ sia arbitrario, anche se sappiamo che nel caso dell'atomo di idrogeno l'interazione è coulombiana. Vogliamo trovare prima i risultati generali del problema che non dipendono dalla natura specifica del potenziale.

Il potenziale $V$ non può comunque dipendere che dalla sola distanza $\vert{\bf r}_2-{\bf r}_1\vert$ tra le due particelle, e l'hamiltoniano sarà

$$H = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + V(\vert{\bf r}_2-{\bf r}_1\vert)$$ (4.1)

Come in meccanica classica, si può effettuare un cambiamento di variabili e passare alle due nuove variabili

$${\bf R} = \frac{m_1{\bf r}_1 + m_2{\bf r}_2}{m_1+m_2}$$ (4.2)

$${\bf r} = {\bf r}_2-{\bf r}_1$$ (4.3)

corrispondenti alla posizione del centro di massa e alla posizione relativa. È conveniente anche definire

$$M = m_1+m_2$$ (4.4)

$$m = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$ (4.5)

dove $m$ è detta massa ridotta.

Si può facilmente vedere che, definendo anche i nuovi operatori corrispondenti ${\bf P}=-i\hbar{\bf\nabla_{\bf R}}$ e ${\bf p}=-i\hbar{\bf\nabla_{\bf r}}$, l'hamiltoniano diventa

$$H = \frac{P^2}{2M} + \frac{p^2}{2m} + V(r)$$ (4.6)

da cui si vede immediatamente che le variabili si separano. Il moto del centro di massa è quello di una particella libera di massa $M$; la soluzione è un'onda piana. La parte interessante è ovviamente quella relativa. L'equazione di Schrödinger corrispondente è la stessa che avrebbe una massa $m$ immersa in un campo di forze centrali $V(r)$, con simmetria sferica rispetto all'origine.

Nel caso degli atomi con un elettrone, l'interazione è fra il protone (o un nucleo più pesante) e l'elettrone, e quindi il rapporto fra le masse è pari ad almeno 1836. La massa ridotta sarà quindi appena più piccola di quella dell'elettrone.

L'equazione di Schrödinger che studieremo in questo capitolo è allora:

$$H \psi({\bf r}) \equiv \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r) \right] \psi({\bf r}) = E \psi({\bf r})$$ (4.7)