Griglia logaritmica

La risoluzione numerica diretta della (4.31) presenta qualche difficoltà a causa della singolarità del potenziale a $r=0$. Le difficoltà si possono aggirare lavorando su una griglia a passo variabile in $r$ anzichè costante, che diventa sempre più fitta man mano che ci si avvicina all'origine. Una descrizione più approfondita dello schema qui presentato si può trovare in [7].

Chiamiamo $x$ la nuova variabile di integrazione. Definiremo una griglia a passo costante in $x$, in modo da poter continuare ad adottare il metodo di Numerov senza modifiche. In generale per una mappatura definita da

$$x = f(r)$$ (4.48)

avremo

$$\Delta x = f'(r) \Delta r$$ (4.49)

La nostra particolare scelta è

$$f(r) \equiv \log{Zr}$$ (4.50)

che fornisce quindi

$$\Delta x = \frac{\Delta r}{r}$$ (4.51)

Il rapporto $\Delta r/r$ si mantiene pertanto costante sulla griglia logaritmica così definita.

Tuttavia, trasformando la (4.31) nella variabile $x$ appare anche un termine con la derivata prima, che impedisce l'applicazione del metodo di Numerov. Il problema si aggira trasformando anche la funzione incognita in questo modo:

$$y(x) = \frac{1}{\sqrt r} \chi \left( r(x) \right)$$ (4.52)

È facile vedere che trasformando la (4.31) in modo da esprimerla in funzione di $x$ e $y$ (ma il potenziale può essere lasciato funzione di $r$), i termini con la derivata prima si cancellano, e moltiplicando l'intera equazione per $r^{3/2}$ si ottiene

$$\frac{d^2 y}{dx^2} + \left[ r^2 \left( E + \frac{2Z}{r} \right) - \left( \ell + \frac{1}{2} \right)^2 \right] y(x) = 0$$ (4.53)

Come si vede, questa equazione non presenta più singolarità per $r=0$.

Dal punto di vista pratico, la subroutine $\tt do\_mesh$ definisce all'inizio e una volta per tutte i valori di $r$, $\sqrt r$, $r^2$ per ogni punto della griglia. Il potenziale è pure calcolato una volta per tutte da $\tt init\_pot$. La griglia è calcolata a partire da un $x$ minimo pari a -8, corrispondente a $Zr_{\min}\simeq 3.4\times 10^{-3}$ unità atomiche (raggi di Bohr).