Caso di più particelle e sistemi composti

Se un sistema è costituito da $N$ particelle identiche anzichè da due, i risultati ottenuti si generalizzano facilmente. Indicato con ${\cal P}$ un generico operatore di permutazione che applicato su uno stato di $N$ particelle dà lo stato equivalente in cui le particelle sono state tra loro permutate in modo arbitrario, si avrà

$${\cal P} \psi = \psi$$ (6.11)

per qualunque sistema di bosoni, e

$${\cal P} \psi = (-1)^M \psi$$ (6.12)

per un sistema di fermioni, dove $M$ è il numero di scambi di coppie necessario per arrivare dallo stato iniziale a quello finale.

Da ciò segue subito anche la regola per trovare il carattere di un sistema costituito da particelle non elementari, ma internamente costituite da $k$ bosoni e $\ell$ fermioni. Poichè scambiare tra loro due di queste particelle significa scambiare tra loro $k$ bosoni e $\ell$ fermioni, si ha subito che la particella composta è un bosone se $\ell$ è pari, e un fermione se $\ell$ è dispari, indipendentemente da $k$.

Con argomenti di meccanica quantistica relativistica si può dimostrare che

• le particelle a spin intero sono bosoni
• le particelle a spin semiintero sono fermioni.

È facile vedere che nel caso di particelle composte la regola di composizione dei momenti angolari dà un risultato consistente: l'insieme di $k$ particelle a spin intero e $\ell$ particelle a spin semiintero dà una particella a spin intero se $\ell$ è pari, o una a spin semiintero se $\ell$ e dispari, indipendentemente da $k$.