Operatori di permutazione

Consideriamo un sistema a due particelle e chiamiamo $P$ l'operatore che le scambia. Ossia:

$$P \psi(1,2) \equiv \psi(2,1)$$ (6.5)

per qualsiasi funzione d'onda. Ovviamente $P$ è un "operatore idempotente", ossia soddisfa a $P^2=1$, e anche $P^{-1}P = PP^{-1} = 1$.

Il principio di indistinguibilità ci dice che qualsiasi misura deve dare lo stesso risultato se effettuata sullo stato $\psi$ o sullo stato $P\psi$. Se l'operatore $A$ corrisponde ad una generica osservabile e il sistema è in un autostato di $A$:

$$A\psi = a\psi$$ (6.6)

(ossia, una misura di $A$ dà come risultato un numero $a$ ben definito), allora deve anche essere vero che

$$AP\psi = aP\psi$$ (6.7)

D'altra parte applicando l'operatore P a sinistra e a destra nella prima equazione si ha anche

$$PA\psi = aP\psi$$ (6.8)

Sottraendo tra loro le ultime due equazioni e notando che questo deve valere per qualsiasi stato fisico $\psi$, deve allora essere

$$[P,A]= 0$$ (6.9)

ossia l'operatore $P$ deve commutare con qualsiasi osservabile fisica, inclusa l'energia:

$$[P,H]= 0$$ (6.10)

e quindi è una quantità conservata. Da quanto sopra si inferisce inoltre che i suoi valori possono essere solamente $+1$ oppure $-1$.

Risulta che il segno dell'autovalore dell'operatore di scambio, o parità, è una proprietà intrinseca del tipo di particella. Le particelle si dividono in

• bosoni: $P\psi = +\psi$
• fermioni: $P\psi = -\psi$

dove $P$ è riferito a una qualsiasi coppia di particelle di quel tipo. Un insieme di particelle si comporta dunque sempre in un dato modo, che dipende esclusivamente dal carattere di bosone o fermione della particella.