Energie cinetiche negative

Uno dei fatti nuovi importanti della meccanica quantistica rispetto a quella classica è la presenza di ``energie cinetiche negative'', ossia la funzione d'onda può non essere nulla (e quindi la probabilità di trovare una particella essere finita) nelle ``regioni proibite'' dal punto di vista classico, $V(x)>E$. Basandoci sulla (2.2) e immaginando di essere in un caso semplice in cui V si può considerare costante, questo significa

$$\frac{d^2\psi}{dx^2} = k^2 \psi(x)$$ (2.31)

dove $k^2$ è un numero positivo, e questo a sua volta implica un comportamento esponenziale: sia $\psi(x) \simeq \exp(kx)$ che $\psi(x) \simeq \exp(-kx)$ soddisfano alla (2.31). Come sappiamo dagli studi delle buche di potenziale, generalmente solo una di queste due possibilità ha significato fisico: quella che dà luogo a una funzione d'onda che decresce esponenzialmente man mano che ci si addentra nella regione classicamente proibita.

Queste regioni si traducono però spesso in serie difficoltà per i codici numerici, che per la loro natura generale contemplano entrambi i tipi di soluzioni. Tutti sappiamo che crescite esponenziali portano inevitabilmente a catastrofi, e così anche un algoritmo di integrazione tende a far esplodere la funzione d'onda in modo catastrofico nel momento in cui è presente, anche se in piccolissima quantità, una componente crescente nella soluzione; ed è inevitabile che questo accada. È comune quindi che una funzione d'onda ottenuta numericamente, e perfettamente valida nella regione classicamente permessa, diverga improvvisamente se ci si addentra oltre un certo limite all'interno della regione classicamente proibita.

In questo senso, trattare numericamente sistemi quantistici richiede più attenzione che trattare sistemi classici, che sono intrinsecamente più stabili.