Determinanti di Slater

Il caso che più ci interessa è quello degli elettroni, che avendo spin 1/2 sono fermioni, e quindi la loro funzione d'onda deve essere antisimmetrica rispetto allo scambio di qualsiasi coppia.

Supponiamo che uno stato sia descrivibile in termini di un prodotto di funzioni d'onda ad un elettrone. Come già discusso per due particelle, un semplice prodotto

$$\psi(1,2,\ldots,N) = \phi_1(1) \phi_2(2) \ldots \phi_N(N)$$ (6.13)

non soddisfa al principio di indistinguibilità perchè non è un autostato degli operatori di permutazione.

È possibile però costruire una soluzione antisimmetrica per scambio in forma di un determinante:

$$\psi(1,2,\ldots,N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \left\vert \begin{a... ...1) & \phi_N(2) & \ldots & \phi_N(N) \\ \end{array}\right\vert$$ (6.14)

Scambiare fra loro due particelle equivale infatti a scambiare fra loro due colonne, e per le proprietà del determinante questo porta ad un cambiamento di segno.

Notiamo però anche che se due qualsiasi delle righe sono fra loro uguali, il determinante si annulla e quindi una tale funzione d'onda non corrisponde ad alcun stato fisico. Pertanto tutte le $\phi_i$ devono essere diverse; due (o più) fermioni identici non possono trovarsi nello stesso stato. Si tratta del noto principio di esclusione di Pauli.