L'equazione indipendente dal tempo

Prima di procedere, ricordiamo il legame fra l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo (2.1), e quella più generale dipendente dal tempo

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}... ...(x,t) \Psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}$$ (2.3)

Nel caso in cui il potenziale $V$ non dipenda dal tempo, si può provare a esprimere la soluzione come un prodotto di una funzione di solo $x$ e una di solo $t$:

$$\Psi(x,t) = \psi(x) f(t)$$ (2.4)

Sostituendo la (2.4) nella (2.3) e dividendo per $\psi(x) f(t)$ si trova

$$- \frac{1}{\psi(x)} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)} {d x^2} + V(x) = \frac{i\hbar}{f(t)} \frac{d f}{d t}$$ (2.5)

In questa equazione il membro sinistro dipende solo da $x$, e quello destro solo da $t$. Entrambi i membri devono allora essere uguali ad una costante, che chiamiamo $E$. Otteniamo così due equazioni: quella spaziale è appunto la (2.1), mentre quella temporale è

$$\frac{d f}{d t} = -\frac{iE}{\hbar} f(t)$$ (2.6)

la cui soluzione è banalmente

$$f(t) = C {\rm e}^{-iEt/\hbar}$$ (2.7)

dove $C$ è una costante (determinata dalla normalizzazione). Si tratta di un punto nello spazio complesso in rotazione attorno all'origine con frequenza angolare $E/\hbar$.

Abbiamo quindi trovato che ad ogni soluzione $\psi_n(x)$ della (2.1), corrispondente a un certo valore di $E_n$, corrisponde anche una soluzione della (2.3)

$$\Psi_n(x,t) = \psi_n(x) {\rm e}^{-i E_n t/\hbar}$$ (2.8)

Questa soluzione è uno stato stazionario, perchè $\vert\Psi_n(x,t)\vert^2 = \vert\psi_n(x)\vert^2$ non dipende dal tempo.

Inoltre, ricordando che uno dei postulati della meccanica quantistica è che la quantità di moto lungo la direzione $x$ sia rappresentata dall'operatore $p = -i \hbar \frac{d}{dx}$, la (2.1) può anche essere scritta

$$\left[ \frac{p^2}{2m} + V(x) \right] \psi(x) = E\psi(x)$$ (2.9)

che ci permette di identificare $E$ come l'energia totale (cinetica+potenziale) del sistema (è il valore di aspettazione dell'operatore $p^2/2m + V$ sullo stato definito da $\psi$).

$\Psi_n(x,t)$ data dalla (2.8) non è una soluzione generale dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo (2.3). Tuttavia, si può dimostrare che l'insieme di tutte le soluzioni possibili è costituito dalle combinazioni lineari delle autofunzioni dell'energia, ossia qualsiasi soluzione $\Psi(x,t)$ è sempre esprimibile come una sovrapposizione di stati stazionari:

$$\Psi(x,t) = \sum_n c_n \Psi_n(x,t) .$$ (2.10)

Questo è un risultato importante: data una funzione d'onda $\Psi(x,t_0)$ che si sa essere una soluzione valida ad un certo istante $t_0$, la sua evoluzione temporale può essere ottenuta facilmente se si riesce a espanderla in stati stazionari al tempo $t_0$ secondo la (2.10).

La soluzione numerica diretta [ossia operando nello spazio $(x,t)$] dell'equazione (2.3) è in generale un problema difficile, che porta spesso a instabilità numeriche. Quasi sempre l'evoluzione temporale di una funzione d'onda non corrispondente ad uno stato stazionario viene perciò studiata decomponendola in autofunzioni dell'energia--la cui evoluzione temporale è data dalla (2.8)--secondo la (2.10).

Tuttavia, nel caso generale in cui il potenziale dipende dal tempo la separazione delle variabili non è possibile, e il problema va quindi affrontato risolvendo direttamente la (2.3).