Presenza di accoppiamento

Perchè abbiamo introdotto questa rappresentazione, apparentemente equivalente a quella che considera i due momenti angolari separatamente? Il motivo è che in molti casi sono presenti termini nell'hamiltoniana che accoppiano i momenti angolari tra loro. Comune è ad esempio il caso di una ``coppia'' che tende ad allineare i due vettori:

$$H = \ldots - A {\bf J}_1 \cdot {\bf J}_2$$ (3.120)

In presenza di tale termine, $J_{1z}$ e $J_{2z}$ non sono più conservati, ossia non sono più buoni numeri quantici. Infatti

$$[J_{1z}, - A {\bf J}_1 \cdot {\bf J}_2] = -A [ J_{1z}, J_{1x}J_{2x} + J_{1y}J_{2y} + J_{1z}J_{2z} ]$$ (3.121)

$$= -A [ J_{1z}, J_{1x} ] J_{2x} -A [ J_{1z}, J_{1y} ] J_{2y}$$ (3.122)

$$= -i\hbar A ( J_{1y} J_{2x} - J_{1x} J_{2y} )$$ (3.123)

e questo operatore in generale non è nullo.

Viceversa, è immediato vedere che $J_{1z} + J_{2z}$ è conservato, in quanto $[J_{2z}, - A {\bf J}_1 \cdot {\bf J}_2]$ risulta essere uguale al termine calcolato qua sopra con segno opposto.