Composizione di momenti angolari: la rappresentazione accoppiata

Consideriamo un sistema in cui ${\bf J}_1$ e ${\bf J}_2$ sono due operatori momento angolare che commutano tra loro. Ciò accade quando si riferiscono a sistemi fisici indipendenti; ad esempio i momenti angolari di due particelle diverse, oppure il momento angolare orbitale e quello di spin di una stessa particella nell'assunzione che non vi siano interazioni che li accoppiano. Avremo quindi quattro osservabili commutanti per descrivere il sistema: $J_1^2$, $J_{1z}$, $J_2^2$ e $J_{2z}$, e gli autostati comuni saranno caratterizzati dall'insieme di numeri quantici $j_1$, $m_1$, $j_2$ e $m_2$. Dati $j_1$ e $j_2$, avremno quindi $(2j_1+1)(2j_2+1)$ stati distinti.

Esiste anche un'altro utile insieme di osservabili per descrivere lo stesso sistema. Definiamo l'operatore momento angolare totale

$${\bf J} = {\bf J}_1 + {\bf J}_2$$ (3.115)

È immediato verificare che anche ${\bf J}$ deve soddisfare all'algebra di commutazione del momento angolare. Infatti

$$\begin{array}{rcl} [J_x,J_y] & = & [J_{1x} + J_{2x}, J_{1y} ... ... i\hbar J_{1z} + i\hbar J_{2z} \\ & = & i\hbar J_z \end{array}$$ (3.116)

avendo sfruttato il fatto che i commutatori fra componenti relative al sistema 1 e al sistema 2 sono per ipotesi nulle. Avremo quindi $[J_z,J^2]=0$.

Possiamo descrivere allora il sistema anche usando i quattro operatori $J_1^2$, $J_2^2$, $J^2$ e $J_z$. Si tratta della cosiddetta rappresentazione accoppiata (il motivo di questo nome sarà chiaro tra breve). Per dimostrare che commutano tutti fra loro ci resta da vedere che $[J_1^2,J^2]=[J_2^2,J^2]=0$, e che $[J_1^2,J_z]=[J_2^2,J_z]=0$.

$$\begin{array}{rcl} [J_1^2,J^2] & = & [J_1^2,J_x J_x + J_y J_... ...J_{1x}] + [J_1^2,J_{1x}] J_x + (\ldots) \\ & = & 0 \end{array}$$ (3.117)

e

$$\begin{array}{rcl} [J_1^2,J_z] & = & [J_1^2, J_{1z} + J_{2z}] \\ & = & [J_1^2, J_{1z}] \\ & = & 0 \end{array}$$ (3.118)

Indichiamo con $j_1$, $j_2$, $j$ e $m$ i numeri quantici che caratterizzano gli autovalori dei nostri operatori. Dati $j_1$ e $j_2$, $j$ varierà da un certo $j_{\rm min}$ a un certo $j_{\rm max}$, che ora identificheremo.

$m$ è la proiezione di $J_z = J_{1z} + J_{2z}$, e quindi per definizione dovrà essere $m=m_1+m_2$. Da questo si desume che il massimo valore possibile per $m$ è $j_1+j_2$, ma il massimo valore possibile per $m$ è anche pari a $j_{\rm max}$. Dunque $j_{\rm max}=j_1+j_2$.

$j_{\rm min}$ si ottiene imponendo che il numero totale di stati sia lo stesso ottenuto nella prima rappresentazione:

$$\sum_{j=j_{\rm min}}^{j_1+j_2} (2j+1) = (2j_1+1)(2j_2+1)$$ (3.119)

Si può verificare che questo fornisce $j_{\rm min}=\vert j_1-j_2\vert$.

Dunque $j=\vert j_1-j_2\vert,\ldots,j_1+j_2$. Si può pensare che nel caso $j=\vert j_1-j_2\vert$ i due vettori abbiano la stessa direzione ma verso opposto, e nel caso $j=j_1+j_2$ la stessa direzione e verso; i casi intermedi corrispondono a momenti angolari che puntano in direzioni diverse.