Metodo perturbativo

Supponiamo che l'hamiltoniano possa essere scritto in forma

$$H = H_0 + V$$ (5.1)

dove $H_0$ è un ``hamiltoniano di riferimento'' i cui autostati si suppone noti:

$$H_0 \psi_m^0 = E_m^0 \psi_m^0$$ (5.2)

e $V$ una ``perturbazione'' che supporremo piccola, e indipendente dal tempo. Supporremo inoltre che non vi sia degenerazione, ossia che gli $E_m^0$ siano tutti diversi (il caso in cui vi è degenerazione si può pure trattare senza troppa difficoltà).

Consideriamo le soluzioni del problema completo:

$$H \psi_n = E_n \psi_n$$ (5.3)

Poichè le $\psi_m^0$ costituiscono un insieme completo, è di certo possibile espandere le $\psi_n$ secondo

$$\psi_n = \sum_m a_{nm} \psi_m^0$$ (5.4)

Con questa posizione la (5.3) diventa

$$\sum_m a_{nm} (H_0 + V) \psi_m^0 = \sum_m a_{nm} E_n \psi_m^0$$ (5.5)

da cui

$$\sum_m a_{nm} V \psi_m^0 = \sum_m a_{nm} ( E_n - E_m^0 ) \psi_m^0$$ (5.6)

Moltiplichiamo a sinistra per $\psi_k^{0*}$ e integriamo. Utilizziamo per brevità la notazione di Dirac

$$\langle \psi_k^0 \vert V\vert \psi_m^0 \rangle \equiv \int \psi_k^{0*} \psi_m^0 dv$$ (5.7)

(integrato su tutte le coordinate). Si ottiene, sfruttando l'ortonormalità delle $\psi_m^0$,

$$\sum_m a_{nm} \langle \psi_k^0 \vert V\vert \psi_m^0 \rangle = a_{nk} ( E_n - E_k^0 )$$ (5.8)

Fino a questo momento non è stata effettuata alcuna approssimazione. Poniamo ora

$$E_n = E_n^0 + \epsilon_n$$ (5.9)

$$a_{nm} = \delta_{nm} + \alpha_{nm}$$ (5.10)

ottenendo

$$\langle \psi_k^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle + \sum_m \alpha_{nm} \langle \psi_k^0 \vert V\vert \psi_m^0 \rangle = ( \delta_{nk} + \alpha_{nk} ) ( E_n^0 - E_k^0 + \epsilon_n )$$ (5.11)

$$= \epsilon_n \delta_{nk} + \alpha_{nk} ( E_n^0 - E_k^0 + \epsilon_n )$$ (5.12)

e supponiamo che $\epsilon_n$ e $\alpha_{nm}$, assieme agli integrali (5.7), siano delle quantità piccole. Approssimiamo al primo ordine (eliminando cioè tutti i termini di ordine successivo al primo):

$$\langle \psi_k^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle = \epsilon_n \delta_{nk} + \alpha_{nk} ( E_n^0 - E_k^0 )$$ (5.13)

Nel caso $k=n$ abbiamo

$$\epsilon_n = \langle \psi_n^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle$$ (5.14)

Questo è un risultato molto importante, che ci permette di ottenere rapidamente una stima del cambiamento di autovalore conseguente a una perturbazione mediante integrali sugli stati imperturbati. Il caso $k\ne n$ ci dà

$$\alpha_{nk} = \frac{\langle \psi_k^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle} {E_n^0 - E_k^0}$$ (5.15)

che pure ha una interpretazione fisica: uno stato $\psi_n$ è ottenuto come ``miscela'' degli stati imperturbati, di cui $\psi_n^0$ costituisce l'ingrediente fondamentale, e in cui gli altri $\psi_k^0$ appaiono con coefficienti proporzionali all'"accoppiamento" tra $\psi_n^0$ e $\psi_k^0$ attraverso la perturbazione, e inversamente proporzionali alla differenza di energia.

Notiamo che al primo ordine deve essere $\alpha_{nn} = 0$. Infatti

$$1 = \langle \psi_n\vert\psi_n \rangle = \sum_m \vert\delta_{... ...1 + \alpha_{nn}\vert^2 + \sum_{m\ne n} \vert\alpha_{nm}\vert^2$$ (5.16)

Al primo ordine il membro a destra è $1 + 2\alpha_{nn}$, da cui l'asserto.

Riassumendo, i risultati della teoria delle perturbazioni non dipendenti dal tempo al primo ordine sono

$$E_n = E_n^0 + \langle \psi_n^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle$$ (5.17)

$$\psi_n = \psi_n^0 + \sum_{m\ne n} \frac { \langle \psi_m^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle } { E_n^0 - E_m^0 } \psi_m^0$$ (5.18)

È naturalmente possibile sviluppare la teoria delle perturbazioni ad ordini più elevati. Ad esempio al secondo ordine si trova

$$E_n = E_n^0 + \langle \psi_n^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle... ...i_m^0 \vert V\vert \psi_n^0 \rangle\vert^2 } { E_n^0 - E_m^0 }$$ (5.19)