Dimostrazione del principio variazionale (I)

Poichè una variazione arbitraria $\delta\psi$ di una funzione d'onda in generale ne distrugge la normalizzazione, è conveniente utilizzare la definizione più generale di valor medio

$$\langle H\rangle = \frac{ \int \psi^* H \psi dv } {\int \psi^* \psi dv }$$ (5.30)

Modificando la $\psi$ in $\psi+\delta\psi$, il valor medio diventa

$$\langle H\rangle + \delta \langle H\rangle = \frac{ \int (\psi^*+\delta\psi^*) H (\psi+\delta\psi) dv } {\int (\psi^*+\delta\psi^*) (\psi+\delta\psi) dv }$$

$$= \frac { \int \psi^* H \psi dv + \int \delta\psi^* H \psi dv... ...si^* \psi dv + \int \delta\psi^* \psi dv + \int \psi^* \delta\psi dv }$$

$$= \left[ \langle H\rangle + \int \delta\psi^* H \psi dv + \int \psi^* H \delta\psi dv \right] \times$$

$$\left[ 1 - \int \delta\psi^* \psi dv - \int \psi^* \delta\psi dv \right]$$ (5.31)

dove si sono omessi i termini del secondo ordine in $\delta\psi$, e si è usata l'approssimazione $1/(1+x) \simeq 1-x$ valida per piccoli $x$. Pertanto

$$\delta \langle H\rangle = \int \delta\psi^* H \psi dv + \... ...\delta\psi^* \psi dv + \int \psi^* \delta\psi dv \right]$$ (5.32)

I due termini nella parentesi quadra sono l'uno il complesso coniugato dell'altro, e lo stesso vale anche per i primi due poichè $H$ è un operatore hermitiano, e soddisfa quindi a

$$\int a^* H b dv = \left( \int b^* H a dv \right)^*$$ (5.33)

per qualsiasi coppia di funzioni $a$ e $b$. Pertanto

$$\delta \langle H\rangle = \left[ \int \delta\psi^* H \psi ... ...angle \left[ \int \delta\psi^* \psi dv + {\rm c.c.} \right]$$ (5.34)

Supponiamo ora che $\psi$ sia tale che $\langle H\rangle$ sia stazionario rispetto a qualsiasi sua variazione. Sarà allora $\delta \langle H\rangle = 0$, ossia

$$\int \delta\psi^* \left[ H - \langle H\rangle \right] \psi dv + {\rm c.c.} = 0$$ (5.35)

per una variazione $\delta\psi$ arbitraria, e questo implica che deve essere

$$\left[ H - \langle H\rangle \right] \psi = 0$$ (5.36)

ovvero $\psi$ è una soluzione dell'equazione di Schrödinger:

$$H \psi = E \psi$$ (5.37)