Dimostrazione del principio variazionale (II)

Un altro modo di dimostrare lo stesso principio, utile in seguito, è basato sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il metodo afferma che se si vuole rendere stazionario un integrale $I_0$ mantenendo allo stesso tempo costanti altri integrali $I_1 \ldots I_k$, si può porre

$$\delta \left( I_0 + \sum_k \lambda_k I_k \right) = 0$$ (5.38)

dove $\lambda_k$ sono costanti da determinare. Nel nostro caso avremo

$$I_0 = \int \psi^* H \psi dv$$ (5.39)

$$I_1 = \int \psi^* \psi dv$$ (5.40)

e quindi porremo

$$\delta(I_0 + \lambda I_1) = 0$$ (5.41)

con $\lambda$ da determinare. Procedendo come nella sezione precedente si ha

$$\delta I_0 = \int \delta\psi^* H \psi dv + {\rm c.c.}$$ (5.42)

$$\delta I_1 = \int \delta\psi^* \psi dv + {\rm c.c.}$$ (5.43)

e quindi la condizione da soddisfare è

$$\delta(I_0 + \lambda I_1) = \int \delta\psi^* [ H + \lambda ] \psi dv + {\rm c.c.} = 0$$ (5.44)

da cui

$$H \psi = -\lambda \psi$$ (5.45)

ossia il moltiplicatore di Lagrange è uguale, a meno del segno, a un autovalore dell'energia. Nuovamente vediamo che gli stati la cui energia media è stazionaria rispetto a qualsiasi variazione della funzione d'onda sono le soluzioni dell'equazione di Schrödinger.