Particelle identiche: principio di indistinguibilità

Nella meccanica quantistica non esiste il concetto di traiettoria della meccanica classica, che presuppone la conoscenza simultanea della posizione e della velocità delle particelle. Ciò ha delle importanti implicazioni.

Supponiamo di considerare due particelle del tutto identiche (ad esempio due elettroni), e di determinare con elevata precisione la loro posizione ad un certo istante $t$, trovando due posizioni ${\bf r}_1$ e ${\bf r}_2$. Supponiamo di ripetere la misura ad un successivo istante $t'$, trovando delle posizioni ${\bf r}'_1$ e ${\bf r}'_2$. Siamo in grado di dire se la particella in ${\bf r}'_1$ era quella che si trovava in ${\bf r}_1$, oppure quella che si trovava in ${\bf r}_2$ all'osservazione precedente? La risposta è no.

Questo è un principio generale che prende il nome di ``principio di indistinguibilità'': Dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle. In altre parole, il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili.

Immaginiamo per il momento di avere a che fare con un sistema in cui le particelle non interagiscono fra loro. Il problema di Schrödinger è allora separabile in $N$ equazioni ad una particella, ed è possibile scrivere una soluzione per la funzione d'onda complessiva in forma di prodotto di soluzioni delle funzioni d'onda per le singole particelle. Per un sistema a due particelle:

$$\psi(1,2) = \phi_1 (1) \phi_2 (2)$$ (6.1)

dove abbiamo indicato con $(1)$ e $(2)$ le variabili associate alle due particelle (tipicamente per ogni particella le tre coordinate di posizione e la variabile di spin intrinseco), mentre invece gli indici bassi in $\phi_1$ e $\phi_2$ indicano la particolare funzione d'onda scelta, classificata coi numeri quantici del problema a una particella.

Ebbene, la (6.1) non è una soluzione accettabile perchè--pur soddisfacendo all'equazione di Schrödinger--viola il principio di instinguibilità. Lo scambio delle particelle porta infatti ad una funzione

$$\psi(1,2) = \phi_2 (1) \phi_1 (2)$$ (6.2)

che pure è soluzione dell'equazione di Schrödinger ed è nettamente diversa dalla precedente. Ad esempio $\phi_1$ potrebbe essere un orbitale $1s$, $\phi_2$ un orbitale $2p$, e le due funzioni sopra darebbero origine a distribuzioni di densità (quantità misurabili) diverse.

È comunque possibile costruire soluzioni che soddisfano al principio di indistinguibilità combinando opportunamente le (6.1) e (6.2):

$$\psi_s(1,2) = \frac{1}{\sqrt2} \left[ \phi_1 (1) \phi_2 (2) + \phi_2 (1) \phi_1 (2) \right]$$ (6.3)

(funzione d'onda simmetrica) e

$$\psi_a(1,2) = \frac{1}{\sqrt2} \left[ \phi_1 (1) \phi_2 (2) - \phi_2 (1) \phi_1 (2) \right]$$ (6.4)

(funzione d'onda antisimmetrica) I fattori $1/\sqrt2$ servono a mantenere le normalizzazioni corrette. Il principio di indistinguibilità è ovviamente soddisfatto per la (6.3). Nel caso della (6.4), lo scambio delle particelle porta ad un cambiamento di segno, ma le quantità osservabili (associate a $\vert\psi\vert^2$) restano inalterate.

Quale delle due trasformazioni va scelta? La risposta dipende dal tipo di particella, come discusso nella prossima sezione.