Nel caso di due elettroni, e supponendo nuovamente che il
problema sia separabile, la (6.14) si riduce a
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(6.15) |
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(6.16) |
La è sempre antisimmetrica perchè gli elettroni
sono fermioni. Tuttavia, è chiaro che è possibile
ottenere questo risultato con una
antisimmetrica e
una
simmetrica, oppure con una
simmetrica e una
antisimmetrica.
Date le autofunzioni di spin del singolo elettrone, ciascuna
delle quali ha due valori possibili che indichiamo
semplicemente con
e
, possiamo costruire
tre funzioni simmetriche dello spin:
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(6.17) |
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(6.18) |
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(6.19) |
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(6.20) |
Il valore dello spin complessivo determina quindi la simmetria
della parte di spin, e di conseguenza quella della parte
configurazionale. La funzione d'onda configurazionale
antisimmetrica tende a ``respingere'' i due elettroni, in quanto
non permette che essi possano essere vicini (la funzione
d'onda tende ad annullarsi quando gli elettroni vengono
portati nella stessa posizione). Per effetto della repulsione
elettrostatica, ciò fa sì che l'energia risultante sia
più bassa di quella del corrispondente caso simmetrico,
in cui gli elettroni hanno elevata probabilità di trovarsi
vicini.
Per questo motivo, fra gli stati eccitati dell'elio in
cui uno dei due elettroni si trova in un orbitale ,
lo stato in cui i due spin sono allineati (ortoelio, tripletto,
parte di spin simmetrica e parte configurazionale antisimmetrica)
ha energia più bassa di quello in cui i due spin sono opposti
(paraelio, singoletto, parte di spin antisimmetrica e parte
configurazionale simmetrica).
Il problema non si pone invece per lo stato fondamentale, in
cui entrambi gli elettroni si trovano in orbitali e
quindi, come discusso in 5.1.1, la funzione d'onda
configurazionale deve essere simmetrica.
Il concetto di ``orbitale'' verrà chiarito meglio nelle sezioni seguenti.