Regole di commutazione

Il valore medio del prodotto di operatori dipende dall'ordine in cui gli operatori vengono applicati. Prendiamo ad esempio una coordinata $x$ e il momento ad essa coniugato $p$, e calcoliamo il valor medio del prodotto $px$ nella rappresentazione delle coordinate:

$$\langle px\rangle = \int \Psi^* \left[ -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} (x\Psi) \right] dx$$ (3.63)

$$= -i\hbar \int \Psi^* \left[ \Psi + x \frac{\partial\Psi}{\partial x} \right] dx$$ (3.64)

$$= -i\hbar + \langle xp\rangle$$ (3.65)

ovvero

$$\langle xp - px \rangle = \langle [x,p] \rangle = i\hbar$$ (3.66)

dove con la notazione $[A,B]$ indichiamo l'operatore $AB-BA$ che chiameremo commutatore tra $A$ e $B$. Diremo che $A$ e $B$ commutano quando il loro commutatore è nullo, ossia quando è indifferente l'ordine con cui sono applicati su uno stato. Come abbiamo appena visto questo non è sempre vero.

Il risultato (3.66) non dipende dallo stato, ed è quindi una identità a livello di operatore:

$$[x,p_x]= i\hbar$$ (3.67)

(dove si è aggiunto l'indice $x$ in $p_x$ per sottolineare che si tratta dell'impulso coniugato a $x$). Si può far vedere che le variabili come $x$ e $p_x$ che non commutano sono quelle non misurabili simultaneamente. Invece,

$$[x,y]=0$$ (3.68)

(non vi sono vincoli alla determinazione simultanea di diverse coordinate di posizione),

$$[p_x,p_y]=0$$ (3.69)

(lo stesso per gli impulsi), e

$$[x,p_y]=0$$ (3.70)

(lo stesso per la coordinata in una direzione e l'impulso in un'altra).

In generale, date due quantità osservabili $A$ e $B$ rappresentate in meccanica quantistica da operatori, $\vert\langle [A,B]\rangle \vert$ rappresenta il limite inferiore al prodotto $\Delta A\Delta B$, dove $\Delta A$ e $\Delta B$ sono gli scarti quadratici medi di misure effettuate simultaneamente su queste due variabili. Si tratta di una versione più generale del principio di indeterminazione. Se $A$ e $B$ non commutano, è impossibile determinarle entrambe simultaneamente con precisione assoluta.

D'altra parte, si può vedere che se $\Phi$ è un autostato comune di $A$ e $B$:

$$A\Phi = a\Phi , B\Phi = b\Phi$$ (3.71)

(dove $a$ e $b$ sono gli autovalori, ossia dei semplici numeri) allora

$$AB\Phi = Ab\Phi = bA\Phi = ba\Phi$$ (3.72)

e

$$BA\Phi = Ba\Phi = aB\Phi = ab\Phi$$ (3.73)

sono uguali, ossia $[A,B]\Phi=0$. Se questo è vero per un insieme completo di autostati (ad esempio, per tutte le autofunzioni dell'energia $\psi_n$), allora ne segue necessariamente $[A,B]=0$. Si può dimostrare che è vero anche l'inverso: se $A$ e $B$ commutano, allora hanno un insieme completo di autostati in comune.