Soluzione e livelli energetici

Come si può facilmente verificare, per grandi $\xi$ (tali da poter trascurare $\varepsilon$) le soluzioni della (2.14) devono avere l'andamento asintotico

$$\psi(\xi) \sim \xi^n {\rm e}^{\pm\xi^2/2}$$ (2.15)

dove $n$ ha un qualsiasi valore finito. Il segno + nell'esponente deve però essere scartato a priori perchè darebbe luogo a soluzioni divergenti e quindi non normalizzabili (inoltre, l'intuizione stessa ci dice che la particella non dovrebbe tendere ad allontanarsi da $\xi=0$, punto verso cui è diretta la forza). Sembra quindi conveniente provare a scorporare l'andamento asintotico desiderato ponendo

$$\psi(\xi) = H(\xi) {\rm e}^{-\xi^2/2}$$ (2.16)

dove $H(\xi)$ è una funzione che a grandi $\xi$ si deve comportare in modo che l'andamento sia determinato dal secondo fattore ${\rm e}^{-\xi^2/2}$. $H(\xi)$ non deve, in particolare, crescere come ${\rm e}^{\xi^2}$, altrimenti saremmo in presenza di una delle soluzioni che non desideriamo.

Con la posizione (2.16) la (2.14) diventa, per la nuova funzione incognita $H(\xi)$,

$$H''(\xi) -2\xi H'(\xi) + (\varepsilon-1) H(\xi)=0$$ (2.17)

Vediamo subito che $\varepsilon_0 = 1$, $H_0(\xi) = 1$ è la soluzione più semplice. Come tra poco si vedrà, questa è la soluzione che rappresenta lo stato fondamentale, cioè quello ad energia più bassa.

Per ottenere le soluzioni generali espandiamo $H(\xi)$ in una serie (in principio infinita):

$$H(\xi) = \sum_{n=0}^\infty A_n \xi^n ,$$ (2.18)

deriviamo la serie per ottenere le derivate e riscriviamo la (2.17) combinando i termini con la stessa potenza di $\xi$:

$$\sum_{n=0}^\infty \left[ (n+2)(n+1) A_{n+2} + (\varepsilon-2n-1) A_n \right] \xi^n = 0$$ (2.19)

Affinchè ciò sia soddisfatto per qualsiasi valore di $\xi$ è necessario che tutti i coefficienti siano nulli:

$$(n+2)(n+1) A_{n+2} + (\varepsilon-2n-1) A_n = 0$$ (2.20)

Così, una volta dati $A_0$ e $A_1$, la (2.20) permette di determinare per ricursione l'intera soluzione in forma di serie di potenze.

Supponiamo che la serie sia veramente una serie infinita. A grandi $n$ i termini si comportano quindi come

$$\frac{A_{n+2}}{A_n} \rightarrow \frac{2}{n}$$ (2.21)

Ma, ricordando che $\exp(\xi^2) = \sum_n \xi^{2n}/n!$, i cui coefficienti soddisfano pure alla (2.21), vediamo che questa relazione tra i coefficienti fa crescere $H(\xi)$ come $\exp(\xi^2)$, ossia ci fornisce delle soluzioni divergenti indesiderate. L'unica maniera per evitare che questo accada è fare in modo che, nella (2.20), tutti i coefficienti da un certo punto in poi siano nulli, in modo che la serie si riduca in realtà ad un polinomio di grado finito. Questo avviene se e solo se

$$\varepsilon = 2n+1$$ (2.22)

dove $n$ è un intero positivo o nullo.

Corrispondentemente, le energie possibili per l'oscillatore armonico sono quantizzate:

$$E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega_c , n=0,1,2,\ldots$$ (2.23)

I corrispondenti polinomi $H_n(\xi)$ sono detti polinomi di Hermite. $H_n(\xi)$ è di grado $n$ in $\xi$, ha $n$ nodi, ed è pari [ $H_n(-\xi)=H_n(\xi)$] o dispari [ $H_n(-\xi)= -H_n(\xi)$] a seconda che $n$ sia pari o dispari. Poichè ${\rm e}^{-\xi^2/2}$ non ha nodi ed è pari, anche l'intera autofunzione corrispondente all'autovalore dell'energia $E_n$

$$\psi_n(\xi) = H_n(\xi) {\rm e}^{-\xi^2/2}$$ (2.24)

ha $n$ nodi e la parità di $n$. Più sotto si mostra come una parità definita è una conseguenza della simmetria del problema rispetto all'inversione dell'asse $x$.

I polinomi di Hermite di ordine più basso sono

$$H_0(\xi)=1 H_1(\xi)=2\xi ... ... H_2(\xi)=4\xi^2-2 H_3(\xi)=8\xi^3-12\xi$$ (2.25)

Un grafico delle corrispondenti funzioni d'onda e densità di probabilità è riportato in fig. 2.1.

Figure 2.1: Funzioni d'onda e densità di probabilità dell'oscillatore armonico quantistico.