Effetti della quantizzazione

Un importante punto da tener presente ai fini della risoluzione numerica di problemi quantistici, strettamente connesso al punto precedente, è la presenza di quantizzazione dei livelli energetici possibili per gli stati legati, espressa dall'espressione (2.23) nel caso dell'oscillatore armonico, ma fatto generale della meccanica quantistica.

I livelli energetici possibili $E_n$ non sono in generale noti a priori. Pertanto, in un'equazione di Schrödinger (2.2) l'incognita non è solo $\psi(x)$, ma anche $E$. Per ogni livello energetico, o autovalore $E_n$ ci sarà una corrispondente funzione d'onda, o autofunzione $\psi_n(x)$.

Cosa succede se si cerca di risolvere un'equazione di Schrödinger utilizzando un'energia $E$ non corrispondente ad un autovalore? La risposta che ci viene dallo studio delle autofunzioni dell'oscillatore armonico è che la quantizzazione delle energie nasce proprio imponendo le opportune condizioni al contorno, al fine di impedire divergenze non fisiche della funzione d'onda nelle regioni proibite. Pertanto, se $E$ non corrisponde ad un autovalore possiamo sicuramente aspettarci di osservare divergenze di $\psi(x)$. I codici numerici che ricercano le energie permesse dovranno pertanto essere in grado di "riconoscere" i problemi causati da energie sbagliate e saper aggiustare il tiro, modificando l'energia fino a portarla in coincidenza di un autovalore.

Il programma presentato alla fine di questo capitolo implementa una strategia di questo genere.