Pacchetti d'onda

Consideriamo una particella libera in una dimensione, la cui equazione di Schrödinger dipendente dal tempo è (dalla (2.3) per $V(x)=0$):

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} = i\hbar \frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}$$ (3.1)

La soluzione di questa equazione, come facilmente si vede, sono le onde piane:

$$\Psi(x,t) = C {\rm e}^{i( \pm kx -\omega t)}$$ (3.2)

dove $C$ è una costante (scelta in modo da normalizzare la funzione correttamente), e $k$ e $\omega$ sono fra loro legati dalla relazione

$$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \hbar \omega$$ (3.3)

$E$ può assumere qualsiasi valore reale positivo. Non vi è quantizzazione: l'energia di una particella libera può avere qualsiasi valore. La (3.2) rappresenta un'onda che si propaga con velocità $v =\omega / k = \hbar k/2m$.

Come sappiamo, potevamo anche considerare l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per lo stesso problema

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E \psi(x)$$ (3.4)

e ottenere una soluzione

$$\psi(x) = C {\rm e}^{\pm i kx}$$ (3.5)

dove $E = \hbar^2 k^2/2m$, e poi dire, applicando la (2.8), che

$$\Psi(x,t) = \psi(x) {\rm e}^{-i E t/\hbar}$$ (3.6)

Il risultato è chiaramente identico.

Confrontando però questo risultato con quello del moto di una particella libera classica, sorgono due problemi:

1. l'ampiezza della (3.2) è costante. Questo corrisponde a una particella ``spalmata'' su tutto lo spazio!
2. se la quantità di moto classica $p$ deve corrispondere a $\hbar k$, la velocità dell'onda sembra essere la metà di ciò che ci si aspetterebbe.

I problemi si risolvono introducendo il concetto di pacchetto d'onde, e assumendo che il limite classico sia sempre ottenuto sommando fra loro molte onde piane del tipo (3.2), anzichè considerando un'onda sola.

Proviamo a considerare per un momento la sola parte spaziale (non è una limitazione: è la soluzione della corrispondente equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, e conosciamo il suo legame (2.8) con la soluzione completa), e ipotizziamo una soluzione oscillante come un'onda piana con un certo vettore d'onda $k_0$, ma localizzata nello spazio in una regione di lunghezza $L$:

$$\begin{array}{lclr} \psi(x) & = & {\rm e}^{i k_0 x} & \mbox{... ...e L/2 \\ & = & 0 & \mbox{se } \vert x\vert > L/2 \end{array}$$ (3.7)

Ci chiediamo se la (3.7) è una soluzione dell'equazione (3.4). Per fare questo, appoggiamoci sulla teoria delle trasformate di Fourier, secondo cui qualunque $\psi(x)$ può essere espressa in termini di uno sviluppo in onde:

$$\psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(k) {\rm e}^{ikx} dk$$ (3.8)

dove le ampiezze $F(k)$ si possono ottenere da una $\psi(x)$ mediante una trasformata inversa,

$$F(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) {\rm e}^{-ikx} dx$$ (3.9)

Nel nostro caso, la forma particolare (3.7) che abbiamo ipotizzato dà

$$F(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-L/2}^{L/2} {\rm e}^{-i(k-k_0)x} dx = \frac{L}{2\pi} \frac{\sin[(k-k_0)L/2]}{(k-k_0)L/2}$$ (3.10)

Come noto, la funzione $\sin y/y$ ha un picco di ampiezza 1 a $y=0$, si annulla per $y=\pm \pi$, e presenta altre oscillazioni di ampiezza molto inferiore al picco principale, che decadono come $1/y$ al crescere di $y$. Pertanto $F(k)$ ha un picco di altezza massima $L/2\pi$ e larghezza a metà altezza approssimativamente $\Delta k\sim 2\pi/L$. Abbiamo quindi trovato che è possibile costruire una soluzione localizzata e oscillante con numero d'onda $k_0$, ma per fare questo dobbiamo sovrapporre un insieme di onde piane con numero d'onda centrato attorno a $k_0$ ma con una dispersione $\Delta k$.

La (3.7) descrive pertanto una particella quantistica la cui posizione è determinata con una incertezza $\Delta x \sim L$, e la cui quantità di moto è determinata con una incertezza $\Delta p=\hbar \Delta k\sim h/L$. Abbiamo quindi $\Delta x \Delta p \sim h$, che è l'espressione del principio di indeterminazione. Il problema di una singola onda piana è che la sua quantità di moto è determinata esattamente, e questo rende la posizione totalmente indefinita.

Analoghe considerazioni possono essere effettuate per quanto riguarda la variabile temporale. In questo caso si effettuano trasformate di Fourier tra la variabile temporale e lo spazio delle frequenze. Se un treno d'onde ha una durata finita complessiva $T$ (che sarà quindi il $\Delta t$) ed effettua $N$ oscillazioni, la precisione nella determinazione della sua frequenza è circa pari a 1 oscillazione, ossia

$$\frac{\Delta\omega}{\omega_0} \sim \frac{1}{N} = \frac{2\pi/\omega_0}{T}$$ (3.11)

da cui

$$\Delta t \Delta\omega \sim 2\pi$$ (3.12)

ovvero l'indeterminazione nel tempo e quella nell'energia sono legate da $\Delta t \Delta E \sim h$.

Il limite classico della meccanica quantistica passa quindi necessariamente attraverso i pacchetti d'onda per poter confinare la particella in una regione finita. Va notato che alla dispersione in $k$ corrisponderà anche una dispersione in energia. Ogni componente $k$ soddisfa all'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per l'energia $E = \hbar^2 k^2/2m$. Le componenti si sommano solo dopo aver moltiplicato ciascuna di esse per il fattore di fase dipendente dal tempo, secondo la (3.6). Questo fa sì che l'aspetto del pacchetto possa in generale variare nel tempo.

Occupiamoci allora della seconda questione relativa alla velocità. Immaginiamo di costruire un semplice pacchetto costituito da due sole onde, una di numero d'onda $k_0 - \delta k$ e una di numero d'onda $k_0 + \delta k$, dove $\delta k$ è piccolo. Le frequenze angolari corrispondenti (attraverso la 3.3) saranno $\omega_0 - \delta\omega$ e $\omega_0 + \delta\omega$.

$$\begin{array}{lcl} \Psi(x,t)&=&{\rm e}^{i(k_0-\delta k)x} {\... ...left[ 2\cos( \delta k x - \delta\omega t ) \right] \end{array}$$ (3.13)

ossia un'onda piana di numero d'onda $k_0$ modulata da un fattore oscillante con un numero d'onda assai più piccolo, ossia con una lunghezza d'onda molto più grande. Questo è un inviluppo analogo a quello che dà luogo ai battimenti in acustica. L'inviluppo si muove con una velocità diversa da quella dell'onda che contiene. Possiamo trovare la sua velocità seguendo ad esempio lo spostamento nel tempo del massimo corrispondente a un argomento nullo del coseno:

$$\delta k x - \delta\omega t = 0$$ (3.14)

ossia

$$x = v_g t , v_g =\frac{d\omega}{dk}$$ (3.15)

La quantità $v_g$ è detta velocità di gruppo. Dato un pacchetto d'onde qualsiasi, per ogni coppia di componenti vicine si può pensare che valga la (3.15), che quindi rappresenta la velocità del pacchetto stesso. Nel limite classico, è la velocità di gruppo che diventa la velocità della particella classica. Dalla (3.3) si ha subito infatti

$$v_g = \frac{\hbar k}{m}$$ (3.16)

che è quanto ci si aspetta. Nel caso di una particella libera, la velocità del pacchetto è quindi doppia rispetto a quella dell'onda, e corrisponde al limite classico.

Da notare infine che il pacchetto si delocalizza nel tempo perchè ciascuna delle sue componenti $k$ si propaga con una velocità $\omega/k$ diversa da quella delle altre componenti. Affinchè il pacchetto non si degradi, occorrerebbe che $\omega/k$ fosse una costante. Questo è in effetti il caso delle onde elettromagnetiche nel vuoto, ma non delle onde associate a particelle con massa finita.