Sviluppo di una soluzione generica

La linearità dell'equazione di Schrödinger ci assicura che, se $\psi_n(x)$ sono le autofunzioni dell'equazione indipendente dal tempo, tutte le loro combinazioni lineari

$$\Psi(x,t) = \sum_n c_n \psi_n(x) {\rm e}^{-i E_n t/\hbar}$$ (3.31)

sono anche una soluzione. La (3.17) ci permette di dimostrare l'inverso, ossia che una generica soluzione $\Psi(x,t)$ della (2.3) può sempre essere espansa secondo la (3.31).

Per dimostrare ciò, consideriamo l'istante $t=0$ e poniamo

$$c_m = \int \psi^*_m(x) \Psi(x,0) dx$$ (3.32)

e quindi consideriamo la funzione

$$\sum_n c_n \psi_n(x)$$ (3.33)

Questa funzione è una soluzione (in quanto combinazione lineare di soluzioni), e all'istante $t=0$ deve coincidere con $\Psi(x,t)$. Infatti vale per ogni $m$ l'identità

$$c_m = \sum_n c_n \delta_{mn} = \sum_n c_n \int \psi^*_m(x) \... ...) dx = \int \psi^*_m(x) \left[ \sum_n c_n \psi_n(x) \right] dx$$ (3.34)

[si noti che abbiamo usato la (3.17)]. Questo è possibile solo se $\sum_n c_n \psi_n(x)$ coincide con $\Psi(x,0)$. Ma dato il valore di una funzione d'onda ad un certo istante, la sua evoluzione è completamente determinata dall'equazione di Schrödinger temporale, e quindi l'evoluzione di $\Psi(x,0)$ dovrà essere la stessa di $\sum_n c_n \psi_n(x)$, cioè quella indicata dalla (3.31).