Definizione generale di momento angolare e spin

Da un punto di vista formale si può definire momento angolare un operatore vettoriale $\bf J$ che sia hermitiano e che soddisfi all'algebra di commutazione

$$[J_x,J_y]= i\hbar J_z$$ (3.112)

(e analoghe relazioni ottenute invertendo e ciclando gli indici). Come subito si vede, ciò garantisce

$$[J_x,J^2]= [J_y,J^2] = [J_z,J^2] = 0$$ (3.113)

Quindi si può scegliere una delle tre componenti, ad esempio $J_z$, e sappiamo alloraa priori che $J^2$ e $J_z$ dovranno avere un sistema completo di autostati in comune:

$$J^2 \Phi_{jm} = \hbar^2 j (j+1) \Phi_{jm}$$

$$J_z \Phi_{jm} = \hbar m \Phi_{jm}$$ (3.114)

In questa equazione ho indicato (per convenienza futura) gli autovalori con $\hbar^2 j (j+1)$ e $\hbar m$ senza fare nessuna particolare assunzione su $j$ e $m$, che per ora pensiamo essere numeri complessi senza restrizioni.

Si può dimostrare formalmente che quanto sopra (senza dover cioè far riferimento a particolari rappresentazioni) è sufficiente a dimostrare che

• $j$ deve essere reale e $j\ge 0$
• $m$ deve essere reale e $-j\le m\le j$
• $m=j$ e $m=-j$ devono essere autovalori
• autovalori successivi di $m$ devono essere distanziati di 1

Ne segue che

• $2j$ deve essere un numero intero, ossia $j$ deve essere intero o semiintero
• dato $j$ ci sono $2j+1$ valori possibili per $m$: $m=-j,-j+1,\ldots,j-1,j$.

Il fatto che la proiezione lungo $z$ di $\bf J$ abbia un valore massimo $\hbar j$ sempre inferiore alla ``lunghezza'' $\hbar \sqrt{j(j+1)}$ discende dal principio di indeterminazione, espresso in questo caso dalle (3.112): se $J_z$ è stato determinato con precisione, è impossibile determinare esattamente sia $J_x$ che $J_y$. Si può quindi immaginare che negli autostati descritti dalle (3.114) che il vettore ${\bf J}$ si muova in modo inosservabile intorno all'asse $z$, mantenendo tuttavia un angolo costante con l'asse $z$. L'equivalente classico è un moto di precessione del momento angolare attorno all'asse.

Questi risultati sono molti simili a quelli che abbiamo trovato nella sezione 3.9 utilizzando una rappresentazione in coordinate polari e riferendoci al moto di una massa attorno ad un centro di forze, ma con una importante differenza: i valori di $j$ e $m$ possono essere anche semiinteri, mentre per il momento angolare orbitale devono essere interi altrimenti la funzione d'onda non è univoca.