Il momento angolare in un campo centrale

Immaginiamo di avere una particella in tre dimensioni immersa in un campo centrale, ossia soggetta ad un potenziale $V(r)$ dipendente solo dalla distanza rispetto a un punto fisso. In meccanica classica si definisce il momento angolare come

$${\bf L} = {\bf r} \times {\bf p}$$ (3.85)

dove ${\bf r}$ è il vettore posizione e ${\bf p}$ il vettore impulso (quantità di moto). Risulta che ${\bf L}$ è una quantità conservata, con importanti conseguenze tra cui la planarità dell'orbita. Ci aspettiamo che anche il corrispondente operatore quantistico giochi un ruolo importante, ed infatti così è.

Possiamo immediatamente dire qualcosa sulle sue proprietà di commutazione, facendo uso delle (3.67)--(3.70) e utilizzando la proprietà generale (immediatamente dimostrata)

$$[AB,C]= A[B,C] + [A,C]B$$ (3.86)

Si trova

$$[L_x,x]= 0 , [L_x,y] = i\hbar z , [L_x,z] = -i\hbar y$$ (3.87)

e

$$[L_x,p_x]= 0 , [L_x,p_y] = i\hbar p_z , [L_x,p_z] = -i\hbar p_y$$ (3.88)

e proprietà analoghe ottenute ciclando gli indici per $L_y$ e $L_z$. Si può far vedere che analoghe proprietà valgono per i commutatori fra componenti di $\bf L$:

$$[L_x,L_x]= 0 , [L_x,L_y] = i\hbar L_z , [L_x,L_z] = -i\hbar L_y$$ (3.89)

e in realtà è vero per qualsiasi grandezza vettoriale $\bf A$, funzione arbitraria di coordinate e impulsi:

$$[L_x,A_x]= 0 , [L_x,A_y] = i\hbar A_z , [L_x,A_z] = -i\hbar A_y$$ (3.90)

Inoltre, dati due vettori $\bf A$ e $\bf B$ (sempre corrispondenti ad operatori quantistici), si può costruire l'operatore ``prodotto scalare''

$${\bf A} \cdot {\bf B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$ (3.91)

e risulta

$$[L_x,{\bf A}\cdot{\bf B}]= [L_y,{\bf A}\cdot{\bf B}] = [L_z,{\bf A}\cdot{\bf B}] = 0$$ (3.92)

come si dimostra subito usando le (3.90). In particolare, facendo coincidere ${\bf A}$ e ${\bf B}$ con ${\bf L}$ stesso, abbiamo anche

$$[L_x,L^2]= [L_y,L^2] = [L_z,L^2] = 0$$ (3.93)

Come si vedrà nella sezione 4.2, e come intuibile dal risultato classico, per una particella in un campo centrale $L^2$ commuta con $H$, ed è quindi una quantità conservata che dà origine a un buon numero quantico. Anche ogni singola componente di ${\bf L}$ commuta con $H$. Però, le (3.89) mostrano che due diverse componenti di ${\bf L}$ non commutano fra loro, e non sono pertanto misurabili simultaneamente.

Esprimiamo il momento angolare nella rappresentazione delle coordinate:

$${\bf L} = -i\hbar {\bf r}\times {\bf\nabla}$$ (3.94)

Consideriamo un sistema di riferimento polare $(r,\theta,\phi)$, dove l'asse polare coincide con l'asse cartesiano $z$, $\theta$ è l'angolo polare e $\phi$ quello azimutale. Siano $\bf u_r$, $\bf u_\theta$ e $\bf u_\phi$ i versori (che costituiscono una terna ortonormale destrorsa) associati a spostamenti in cui varia solo $r$, $\theta$ o $\phi$ rispettivamente. Si ha

$${\bf\nabla} = {\bf u_r} \frac{\partial}{\partial r} + {\bf u... ...f u_\phi} \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi}$$ (3.95)

Applicando la (3.94),

$${\bf L} = -i\hbar \left( {\bf u_\phi} \frac{\partial}{\parti... ...a} \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \right)$$ (3.96)

Esprimendo i versori della terna polare in funzione di quelli della terna cartesiana

$${\bf u_r} = \sin\theta\cos\phi {\bf u_x} + \sin\theta\sin\phi {\bf u_y} + \cos\theta {\bf u_z}$$ (3.97)

$${\bf u_\theta} = \cos\theta\cos\phi {\bf u_x} + \cos\theta\sin\phi {\bf u_y} - \sin\theta {\bf u_z}$$ (3.98)

$${\bf u_\phi} = -\sin\phi {\bf u_x} + \cos\phi {\bf u_y}$$ (3.99)

possiamo calcolare le componenti cartesiane di ${\bf L}$ nello spazio polare. In particolare risulta

$$L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$$ (3.100)

e

$$L^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\... ...rac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \right]$$ (3.101)

Cerchiamo ora le autofunzioni dell'operatore $L^2$, che torneranno utili in seguito risolvendo l'equazione di Schrödinger per una particella in un campo centrale:

$$L^2 Y(\theta,\phi) = \hbar^2 \ell(\ell+1) Y(\theta,\phi)$$ (3.102)

dove abbiamo espresso in questo modo (per futura convenienza) l'autovalore. Notiamo che, moltiplicando i due membri per $-\sin^2\theta/\hbar^2$, l'equazione agli autovalori diventa

$$\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta... ...\partial\phi^2} = - \ell(\ell+1) \sin^2\theta Y(\theta,\phi)$$ (3.103)

Supponiamo che la soluzione sia separabile in una funzione di solo $\theta$ e una di solo $\phi$:

$$Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta) \Phi(\phi)$$ (3.104)

e dividiamo il risultato per $\Theta\Phi$:

$$\frac{1}{\Theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} ... ...heta = - \frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial\phi^2}$$ (3.105)

Il primo membro è funzione solo di $\theta$, e il secondo solo di $\phi$. Entrambi devono allora essere uguali a una costante, che indichiamo con $m^2$. Abbiamo allora ottenuto due equazioni:

$$\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \fr... ...t[ \ell(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \right] \Theta = 0$$ (3.106)

$$\frac{d^2 \Phi}{d\phi^2} + m^2 \Phi = 0$$ (3.107)

La seconda ci dice che deve essere

$$\Phi(\phi) = C {\rm e}^{\pm im\phi}$$ (3.108)

Poichè $\phi$ è un angolo azimutale, è necessario che $m$ sia intero affinchè la funzione sia ad un solo valore.

La (3.106), usando $\cos\theta$ come variabile, è nota in fisica matematica come equazione di Legendre. Si può risolvere in modo analogo a quanto fatto per l'oscillatore armonico: esprimendo cioè la soluzione in forma di una serie di potenze di $\cos\theta$, e richiedendo che non diverga per alcun valore di $\cos\theta$. Risulta che una divergenza a $\cos\theta=1$ può essere evitata solo se si assume che la serie sia in realtà un polinomio di grado finito, ossia che tutti i coefficienti da un certo grado in poi siano nulli. Si può vedere che questo implica $\ell$ intero, e $\ell\ge \vert m\vert$. Le funzioni risultanti sono indicate con $P_\ell^m (\cos\theta)$ e si chiamano funzioni associate ai polinomi di Legendre. I polinomi di Legendre $P_\ell (\cos\theta)$ sono le soluzioni dell'equazione di Legendre per $m=0$, e le funzioni associate sono ad essi connesse da

$$P_\ell^m (w) = \left( 1 - w^2 )\right)^{m/2} \frac{d^m}{dw^m} P_\ell (w) .$$ (3.109)

Le autofunzioni dell'operatore $L^2$ hanno dunque la forma

$$Y_{\ell m}(\theta,\phi) = C_{\ell m} P_\ell^m (\cos\theta) {\rm e}^{im\phi}$$ (3.110)

dove $C_{\ell m}$ è una costante di normalizzazione, e sono dette armoniche sferiche. Poiche $L_z$, dato dalla (3.100), opera solo su $\phi$, queste sono anche autofunzioni di questo operatore:

$$L_z Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \hbar m Y_{\ell m}(\theta,\phi)$$ (3.111)

In sostanza, $\hbar^2\ell(\ell+1)$ rappresenta il modulo quadrato del momento angolare, e $\hbar m$ la sua proiezione lungo l'asse $z$. $\ell$ dev'essere un intero positivo o nullo, e $m$ un intero compreso fra $-\ell$ e $\ell$. Per un dato $\ell$ ci sono dunque $2\ell+1$ valori permessi per $m$.