Funzioni d'onda angolari

Le funzioni d'onda angolari per un problema a simmetria sferica non dipendono dunque dalla natura del potenziale, e sono date dalle armoniche sferiche $Y_{\ell m}(\theta,\phi)$ (3.110). Il loro aspetto per diversi valori di $\ell$ e $m$ può essere esaminato ad esempio nella ``galleria'' dell'università di Oviedo, oppure esplorato attivamente usando l'applet Java al Davidson College.

Si noti che $m$ rappresenta la proiezione del momento angolare sull'asse $z$. Pertanto, le funzioni con $m=0$ tenderanno a essere disposte lungo tale asse, mentre quelle con $m=\ell$ tenderanno a localizzarsi prevalentemente sul piano $xy$.

Le armoniche sferiche di ordine più basso sono le seguenti

$$Y_{00}(\theta,\phi) = 1$$ (4.19)

$$Y_{11}(\theta,\phi) = \sqrt{3/2} \sin\theta {\rm e}^{i\phi}$$ (4.20)

$$Y_{10}(\theta,\phi) = \sqrt{3} \cos\theta$$ (4.21)

$$Y_{22}(\theta,\phi) = \sqrt{15/8} \sin^2\theta {\rm e}^{2i\phi}$$ (4.22)

$$Y_{21}(\theta,\phi) = \sqrt{15/2} \sin\theta\cos\theta {\rm e}^{i\phi}$$ (4.23)

$$Y_{20}(\theta,\phi) = \sqrt{5/4} \left(3\cos^2\theta - 1\right)$$ (4.24)

Considerare $-m$ al posto di $m$ significa cambiare il segno all'esponente del termine $\exp(im\phi)$ ossia, in pratica, a prendere la funzione complessa coniugata.

Per identificare il valore di $\ell$ viene spesso usata la notazione spettroscopica: si indicano con $s$, $p$, $d$, $f$, $g$, $\ldots$ rispettivamente gli stati con $\ell=0,1,2,3,4,\ldots$