Unità atomiche

Il caso più semplice è quello in cui $V(r)$ è semplicemente il potenziale coulombiano:

$$V(r) = -\frac{Ze^2}{r}$$ (4.25)

dove $Z$ è il numero atomico (numero di protoni nel nucleo) ed $e$ la carica dell'elettrone ( $1.6021\times 10^{-19}$ coul). L'espressione sopra è valida nel sistema CGS; nel sistema MKS si scrive invece

$$V(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 r}$$ (4.26)

È comodo lavorare in unità atomiche, definite nel sistema CGS da

$$a_0 = \frac{\hbar^2}{m_0 e^2} = 1 , \frac{m_0 e^4}{2\hbar^2} = 1 {\rm Rydberg}$$ (4.27)

dove $m_0$ è la massa dell'elettrone (non la massa ridotta, che dipende dal nucleo considerato). Nel sistema MKS valgono le stesse definizioni con $e^2/4\pi\epsilon_0$ al posto di $e^2$. $a_0$ è uguale a $0.5292 \mbox{\rm\AA} = 0.5292 \times 10^{-10} {\rm {}m}$, mentre l'unità di energia è detta Rydberg e vale 13.605 eV. Si usa assai spesso anche l'Hartree:

$$1 {\rm Hartree} = 2 {\rm Rydberg} = \frac{m_0 e^4}{\hbar^2} = 27.210 {\rm eV}$$ (4.28)

In unità atomiche anche $\hbar^2/2m$ vale 1, e l'equazione di Schrödinger radiale si scrive [si immagini di moltiplicare la (4.17) per $2m/\hbar^2$]

$$-\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{... ...ll(\ell+1)}{r^2} \right] R_{n\ell}(r) = E_{n\ell} R_{n\ell}(r)$$ (4.29)

che possiamo in realtà ritenere anche una espressione valida per il caso di un potenziale generico, qualora si consideri $Z$ essere una funzione di $r$ anzichè una costante.