Energia dello stato fondamentale

Siano $\psi_n$ gli autostati di un hamiltoniano $H$, a cui sono associate energie $E_n$:

$$H \psi_n = E_n \psi_n$$ (5.46)

Supponiamo che lo stato fondamentale corrisponda a $n=0$ e abbia quindi energia $E_0$. Sia $\psi$ una qualunque altra funzione. Dimostriamo che si ha necessariamente

$$\langle H\rangle = \frac{ \int\psi^* H \psi dv }{ \int\psi^* \psi dv } \ge E_0$$ (5.47)

Per dimostrarlo, pensiamo di sviluppare $\psi$ usando la base delle autofunzioni dell'energia. Ciò è sempre possibile perchè le autofunzioni dell'energia costituiscono un sistema completo e ortonormale, come dimostrato in 3.2.

$$\psi = \sum_n c_n \psi_n$$ (5.48)

Sarà allora

$$\langle H\rangle = \frac {\sum_n \vert c_n\vert^2 E_n}{\sum... ...c {\sum_n \vert c_n\vert^2 (E_n-E_0)}{\sum_n \vert c_n\vert^2}$$ (5.49)

Poichè il secondo termine è positivo o nullo, essendo per definizione di stato fondamentale $E_n\ge E_0$, la (5.47) è dimostrata.

Questo risultato è semplice ma estremamente importante: ci dice che data una qualsiasi $\psi$, il suo valor medio dell'energia è sempre una stima superiore dell'energia dello stato fondamentale. Se lo stato fondamentale non è noto, si può quindi pensare di cercare una sua approssimazione facendo variare $\psi$ nell'ambito di un insieme di funzioni di prova e cercando quella funzione che minimizza $\langle H\rangle$. Questa è l'essenza del metodo variazionale.