Metodo di Newton-Raphson

Si approssima linearmente la funzione ad ogni iterazione per ottenere una migliore stima del punto di zero. Supponiamo di conoscere $f(x)$ e $f'(x)$. Allora, nei dintorni di $x$,

$$f(x+\delta) \simeq f(x) + f'(x)\delta$$ (B.1)

e quindi, al prim'ordine,

$$\delta = -\frac{f(x)}{f'(x)}$$ (B.2)

darebbe $f(x+\delta)=0$. Si procede iterando in questo modo e si può far vedere che la convergenza è quadratica: il numero di cifre significative approssimativamente raddoppia ad ogni iterazione (col metodo di bisezione cresceva linearmente).

Il problema di questo metodo è che la convergenza non è garantita, in particolare quando $f'(x)$ varia notevolmente in prossimità dello zero. Inoltre, il metodo assume che $f'(x)$ sia disponibile direttamente per un dato $x$. Nei casi in cui questo non si verifica e risulterebbe necessario calcolare la derivata attraverso una differenza finita, è consigliabile usare il metodo della secante descritto sotto.