Valori medi

Uno dei postulati della meccanica quantistica è che il valore medio di una qualsiasi grandezza fisica funzione delle coordinate generalizzate e dei corrispondenti impulsi, $F(q,p)$, si ottiene costruendo un operatore differenziale dove ad ogni impulso $p_i$ nell'espressione classica si sostituisce $-i \hbar \partial/\partial q_i$. Il valore medio di questa grandezza su uno stato descritto dalla funzione d'onda $\Psi(q,t)$ sarà allora dato da

$$\langle F\rangle = \int \Psi^* F \Psi dq$$ (3.35)

dove $F$ opera sulla funzione che sta alla sua destra, e l'integrazione è effettuata su tutte le coordinate del sistema.

Se $F$ è solo funzione delle coordinate, questa regola non è sorprendente: ci dice che il valore medio è $\int F(q) \vert\Psi\vert^2 dq$, ossia una normale media pesata sulla densità di probabilità. La situazione più interessante riguarda le dipendenze dagli impulsi. Consideriamo ad esempio l'energia cinetica $T$ per una particella in tre dimensioni: $T(p)=p^2/2m$. Applicando la regola, otteniamo

$$\langle T\rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \int \Psi^* \nabla^2 \Psi dx dy dz$$ (3.36)

dove

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ (3.37)

Nel caso di una particella libera, l'energia cinetica è l'intero hamiltoniano e quindi l'equazione di Schrödinger è

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi({\bf r}, t) = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$ (3.38)

con soluzione (a meno di un fattore di normalizzazione)

$$\Psi({\bf r}, t) = {\rm e}^{i({\bf k}\cdot {\bf r} -Et/\hbar)}$$ (3.39)

dove $E$ è una costante, e ${\bf k}$ un vettore costante legato ad $E$ da

$$\frac{\hbar^2 k^2}{2m} = E$$ (3.40)

La (3.39) rappresenta un'onda piana che si propaga lungo la direzione del vettore d'onda ${\bf k}$, con lunghezza d'onda $\lambda= 2\pi/k$ e frequenza $\omega=E/\hbar$.

Applichiamo a questo caso il metodo per trovare l'impulso dell'onda, ad esempio lungo la direzione $x$:

$$\langle p_x \rangle = -i \hbar \int \Psi^*({\bf r}, t) \fra... ...artial}{\partial x} \Psi({\bf r}, t) dx dy dz = \hbar k_x$$ (3.41)

In realtà una soluzione del genere ha un impulso ben definito, ossia è una autofunzione dell'operatore impulso. Il punto fondamentale è che mentre l'informazione relativa alle coordinate si trova nelle ampiezze delle funzioni d'onda, l'informazione relativa agli impulsi si trova nelle fasi. Gli operatori differenziali in pratica accedono alla fase.