Campo autoconsistente

$V_H(r)$ non è un ``vero'' potenziale, in quanto la sua definizione dipende dalla distribuzione di densità degli elettroni, che a sua volta dipende dalle funzioni orbitali soluzioni della nostra equazione. Il potenziale dunque non è noto a priori, ma è funzione della soluzione; questo tipo di equazione è noto come equazione integro-differenziale.

L'equazione può essere risolta in modo iterativo, dopo aver assunto una condizione iniziale per le funzioni orbitali. La procedura è la seguente:

1. calcolare la densità di carica (somma dei moduli quadri delle funzioni d'onda)
2. calcolare il potenziale di Hartree generato da questa densità (con metodi di elettrostatica)
3. risolvere l'equazione di Schrödinger ottenendo le funzioni d'onda.

La risoluzione dell'equazione può essere effettuata utilizzando i metodi presentati nel capitolo 4. La densità elettronica è costruita popolando le funzioni d'onda in ordine di energia crescente (soddisfando al principio di Pauli!) fino a che tutti gli elettroni sono stati sistemati.

In generale le funzioni d'onda ottenute alla fine della procedura sono diverse da quelle iniziali. Fortunatamente, un'iterazione della procedura (usando come funzioni iniziali quelle finali dell'iterazione precedente) porta ad una convergenza del risultato. È dunque possibile ripetere la procedura descritta finchè tutte le quantità sono sostanzialmente identiche a quelle dell'iterazione precedente. Il campo $V_H$ risultante è allora consistente con le funzioni d'onda, e per questo motivo questo viene chiamato metodo del campo autoconsistente.

Poichè le funzioni d'onda sono soluzione di un problema in un campo centrale, sappiamo a priori che saranno fattorizzate secondo la (4.18). La parte angolare è costituita dalle armoniche sferiche, identificate dai numeri quantici $\ell$ e $m$, mentre la parte radiale è caratterizzata dai numeri quantici $n$ e $\ell$. Ovviamente non c'è più la degenerazione dell'energia per diversi $\ell$.