Quantità conservate

Vogliamo ora dimostrare che dato un operatore $F$, e definito l'operatore $dF/dt$ in modo tale che per ogni stato dipendente dal tempo $\Psi$ si abbia

$$\left\langle \frac{dF}{dt} \right\rangle = \frac{d}{dt} \langle F \rangle$$ (3.74)

ossia il valor medio di $dF/dt$ sullo stato sia pari alla derivata temporale del valor medio di $F$ sullo stesso stato, allora vale la importante relazione

$$i\hbar \frac{dF}{dt} = [F,H]$$ (3.75)

Questa relazione ci permette di identificare facilmente le quantità conservate, che cioè non variano nel tempo: sono quelle che commutano con l'hamiltoniano.

Per dimostrarlo, consideriamo la (3.47) per il valor medio di $F$ su uno stato $\Psi$ espanso in termini di autofunzioni dell'energia, e deriviamola rispetto al tempo, ottenendo così

$$\left\langle \frac{dF}{dt} \right\rangle = \frac{d}{dt} \lan... ...c{i}{\hbar} (E_n - E_m) F_{nm} {\rm e}^{i (E_n - E_m)t /\hbar}$$ (3.76)

Questo ci consente di identificare gli elementi di matrice dell'operatore $dF/dt$:

$$\left( \frac{dF}{dt} \right)_{nm} = \frac{i}{\hbar} (E_n - E_m) F_{nm}$$ (3.77)

(questo fa sì che la (3.47) valga anche per questo operatore, come deve essere!).

Costruiamo ora invece l'elemento di matrice dell'operatore $[F,H]$:

$$[F,H]_{nm} = (FH-HF)_{nm}$$ (3.78)

$$= \int \psi^*_n FH \psi_m dx - \int \psi^*_n HF \psi_m dx$$ (3.79)

$$= \int \psi^*_n FE_m \psi_m dx - \int \psi^*_n H \left( \sum_\ell F_{\ell m} \psi_\ell \right) dx$$ (3.80)

$$= E_m \int \psi^*_n F \psi_m dx - \sum_\ell F_{\ell m} \int \psi^*_n E_\ell \psi_\ell dx$$ (3.81)

$$= E_m F_{nm} - \sum_\ell F_{\ell m} E_\ell \delta_{n\ell}$$ (3.82)

$$= ( E_m - E_n ) F_{nm}$$ (3.83)

Confrontando la (3.77) con la (3.83) vediamo che

$$i\hbar \left( \frac{dF}{dt} \right)_{nm} = [F,H]_{nm}$$ (3.84)

Ma se questo vale per tutti gli elementi di matrice, l'uguaglianza deve avvenire a livello di operatore, ossia la (3.75) deve essere vera.

Siamo ora in posizione di comprendere cosa dobbiamo fare per classificare in un modo utile gli stati di un sistema quantistico.

• La prima cosa da fare è cercare gli autovalori $E_n$ dell'hamiltoniana $H$. Questo ci fornisce dei numeri quantici $n$ utili ai fini della classificazione. Sappiamo che gli autostati di $H$ sono stazionari [vedere (2.8)], quindi questi numeri quantici non variano nel tempo: sono buoni numeri quantici.
• Possono però esserci delle degenerazioni: ad un certo $E_n$ possono corrispondere diversi stati. Questi stati differiranno per altri numeri quantici, che vorrei saper determinare.
• Devo allora cercare un altro operatore $A$ che commuti con $H$: $[A,H]=0$. Questo garantisce che i suoi autovalori siano costanti nel tempo; e anche che siano determinabili con esattezza e simultaneamente agli autovalori di $H$.
• Un solo operatore addizionale potrebbe non bastare a classificare gli stati. Cercherò allora un altro operatore $B$, che deve soddisfare anch'esso a $[B,H]=0$. Ma non basta! Occorre anche che sia $[A,B]=0$. Se così non fosse, non potrei determinare simultaneamente gli autovalori di $A$ e di $B$, e quindi un tale schema sarebbe inutile ai fini della classificazione.
• Ripeto il procedimento finchè sono riuscito a classificare tutti gli stati, e non esistono altri operatori che commutino con $H$ e tutti gli altri.
• Ho allora costruito un insieme di osservabili che determina univocamente lo stato del sistema.

Nel caso dell'atomo di idrogeno, come si vedrà, si utilizzano quattro operatori: $H$, $L^2$, $L_z$ e $S_z$, discussi in seguito.